После завоевания русские князья были обязаны (несколько вариантов):

выплачивать выход
отдать часть своих территорий под пастбища для монголов
получать ярлыки на княжение
принимать ислам
ходить вместе с монголами в военные походы

К сожалению, у нас пока нет статистики ответов на данный вопрос, но мы работаем над этим.