Изучите примеры решения задач
Задача 1
В установке Юнга , находящейся в воздухе, расстояние d между щелями S1 и S2 равно 1 мм, а расстояние L от щелей до экрана 3 м. Определите разность хода лучей, приходящих в точку экрана М, если расстояние l до нее от центра экрана 3 мм. Ответ представьте в микрометрах. Яркое или темное пятно будет наблюдаться в этой точке для света с длиной волны 500нм
Дано:
Решение:
d = 1 мм = 10-3 м
L = 3 м
l = 3 мм = 3×10-3 м
λ=500нм=5×10-7 м
Δ - разность хода лучей. Из рисунка разность хода лучей равна
Δ = r2 – r1.
Запишем для треугольников теорему Пифагора.
r21=L2+(l−d2)2=L2+l2−ld+d24,r12=L2+(l−d2)2=L2+l2−ld+d24,\text{r}_{1}^{2}={{\text{L}}^{2}}+{{\left( {{\text{l}}_{}}-\frac{\text{d}}{2} \right)}^{2}}={{\text{L}}^{2}}+\text{l}_{}^{2}-{{\text{l}}_{}}\text{d}+\frac{{{\text{d}}^{2}}}{4}, (1)
r22=L2+(l+d2)2=L2+l2+ld+d24.r22=L2+(l+d2)2=L2+l2+ld+d24.\text{r}_{2}^{2}={{\text{L}}^{2}}+{{\left( {{\text{l}}_{}}+\frac{\text{d}}{2} \right)}^{2}}={{\text{L}}^{2}}+\text{l}_{}^{2}+{{\text{l}}_{}}\text{d}+\frac{{{\text{d}}^{2}}}{4}. (2)
Из второго уравнения вычтем первое.
r22−r21=L2+l2−ld+d24−L2−l2+ld−d24=2ld.r22−r12=L2+l2−ld+d24−L2−l2+ld−d24=2ld.\text{r}_{2}^{2}-\text{r}_{1}^{2}={{\text{L}}^{2}}+\text{l}_{}^{2}-{{\text{l}}_{}}\text{d}+\frac{{{\text{d}}^{2}}}{4}-{{\text{L}}^{2}}-\text{l}_{}^{2}+{{\text{l}}_{}}\text{d}-\frac{{{\text{d}}^{2}}}{4}=2{{\text{l}}_{}}\text{d}.
В левой части уравнения разность распишем квадратов.
r22−r21=(r2−r1)(r2+r1).r22−r12=(r2−r1)(r2+r1).\text{r}_{2}^{2}-\text{r}_{1}^{2}=\left( {{\text{r}}_{2}}-{{\text{r}}_{1}} \right)\left( {{\text{r}}_{2}}+{{\text{r}}_{1}} \right).
Здесь (r2 – r1) = Δ, а (r2 + r1) » 2L. тогда
Δ×2L = 2ld или ΔL = ld.
Отсюда
Δ=ldL=3⋅10−3⋅10−33=10−6(м)=1 (мкм).Δ=ldL=3⋅10−3⋅10−33=10−6(м)=1 (мкм).\Delta =\frac{{{\text{l}}_{}}\text{d}}{\text{L}}=\frac{3\cdot {{10}^{-3}}\cdot {{10}^{-3}}}{3}={{10}^{-6}}\left(м \right)=1\ \left(мкм \right).
Определим множитель к в точке М из условия .
Δ = k(λ/2) где k – целое число.
Если к четно наблюдается максимум, если нечетно - минимум. порядок максимума,
k = Δ/(λ/2)=10-6/((5×10-7)/2)=10/(5/2)=4
4 целое число, значит выполняется условие максимума и будет наблюдаться светлое пятно.
Ответ: Δ = 1 мкм
D = ?
Задача 2
Параллельный пучок света падает нормально на плосковыпуклую стеклянную линзу, лежащую выпуклой стороной на стеклянной пластинке. В отраженном свете наблюдаются кольца Ньютона. Проведя опыт в отраженном свете, измерили радиус третьего темного кольца Ньютона. Когда пространство между пластинкой и линзой заполнили жидкостью, то тот же радиус cтало иметь кольцо с номером на единицу большим. Определите показатель преломления жидкости. Ответ округлите до сотых.
Дано:
Решение:
r3= r4
n1 = 1
Из треугольника 123 запишем, используя теорему Пифагора, радиус кольца Ньютона:
r=R2−(R−d)2−−−−−−−−−−−√=R2−R2+2Rd-d2−−−−−−−−−−−−−−−√=2Rd-d2−−−−−−√.r=R2−(R−d)2=R2−R2+2Rd-d2=2Rd-d2.\text{r}=\sqrt{{{\text{R}}^{2}}-{{\left( \text{R}-\text{d} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\text{R}}^{2}}-{{\text{R}}^{2}}+2\text{Rd-}{{\text{d}}^{2}}}=\sqrt{2\text{Rd-}{{\text{d}}^{2}}}.
С учетом, что d <Тогда радиус k - го кольца.
rk=2Rd−−−−√rk=2Rd{{\text{r}}_{\text{k}}}=\sqrt{2\text{Rd}} d=r2k2R.d=rk22R.\text{d}=\frac{\text{r}_{\text{k}}^{2}}{2\text{R}}.
Разность хода лучей будет равна.
Δ=2dn+λ2.Δ=2dn+λ2.\Delta =2\text{dn}+\frac{\lambda }{2}.
Т.к. в отраженном свете измерили радиус темного кольца Ньютона, то в этом случае должно выполняться условие минимума.
Δ=(2k+1)λ2.Δ=(2k+1)λ2.\Delta =\left( 2\text{k}+1 \right)\frac{\lambda }{2}.
Приравняем правые части.
2dn+λ2=(2k+1)λ2.2dn+λ2=(2k+1)λ2.2\text{dn}+\frac{\lambda }{2}=\left( 2\text{k}+1 \right)\frac{\lambda }{2}.
2nr2k2R+λ2=2kλ2+λ2.2nrk22R+λ2=2kλ2+λ2.2\text{n}\frac{\text{r}_{\text{k}}^{2}}{2\text{R}}+\frac{\lambda }{2}=\frac{2\text{k}\lambda }{2}+\frac{\lambda }{2}. или nr2kR=kλ.nrk2R=kλ.\frac{\text{nr}_{\text{k}}^{2}}{\text{R}}=\text{k}\lambda .
Для третьего кольца (k = 3):
n1r23R=3λ.n1r32R=3λ.\frac{{{\text{n}}_{1}}\text{r}_{3}^{2}}{\text{R}}=3\lambda .
Для четвертого кольца (k = 4):
n2r24R=4λ.n2r42R=4λ.\frac{{{\text{n}}_{2}}\text{r}_{4}^{2}}{\text{R}}=4\lambda .
Поделив одно уравнение на другое, и учитывая, что r3 = r4 имеем:
n1n2=34.n1n2=34.\frac{{{\text{n}}_{1}}}{{{\text{n}}_{2}}}=\frac{3}{4}.
Отсюда определим показатель преломления жидкости.
n2=43n1=43⋅1≈1,33.n2=43n1=43⋅1≈1,33.{{\text{n}}_{2}}=\frac{4}{3}{{\text{n}}_{1}}=\frac{4}{3}\cdot 1\approx 1,33.
Ответ: n2 = 1,33
n2 = ?
Задача 3
На поверхность стеклянной призмы нанесена тонкая пленка с показателем преломления ппл < пст толщиной 112,5 нм. На пленку по нормали к ней падает свет с длиной волны 630 нм. При каком значении показателя преломления ппл пленка будет «просветляющей»?
Дано:
Решение:
ппл < пст
d = 112,5 нм = 1,125×10-7 м
l = 630 нм = 6,3×10-7 м
max
Просветляющая пленка удовлетворяет условию максимума при интерференции.
Δ = kλ.
Луч света, отраженный от стекла отстает от луча, отраженного от пленки на расстояние, равное, разности хода лучей.
Δ=2dn+λ2.Δ=2dn+λ2.\Delta =2\text{d}{{\text{n}}_{}}+\frac{\lambda }{2}.
Дополнительная разность хода λ/2 возникает при отражении от более плотной среды. Приравняем правые части полученных выражений.
kλ=2dn+λ2.kλ=2dn+λ2.\text{k}\lambda =2\text{d}{{\text{n}}_{}}+\frac{\lambda }{2}.
Отсюда выразим показатель преломления ппл пленки.
n=kλ−λ22d=λ(k-0,5)2d.n=kλ−λ22d=λ(k-0,5)2d.{{\text{n}}_{}}=\frac{\text{k}\lambda -\frac{\lambda }{2}}{2\text{d}}=\frac{\lambda \left( \text{k-}0,5 \right)}{2\text{d}}.
Подставим численные значения и рассчитаем показатель преломления ппл пленки, при котором она будет «просветляющей».
n=630⋅10−9(1−0,5)2⋅112,5⋅10−9=1,4.n=630⋅10−9(1−0,5)2⋅112,5⋅10−9=1,4.{{\text{n}}_{}}=\frac{630\cdot {{10}^{-9}}\left( 1-0,5 \right)}{2\cdot 112,5\cdot {{10}^{-9}}}=1,4.
Ответ: ппл = 1,4
ппл = ?
Задача 4
Между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками положили очень тонкую проволочку, расположенную параллельно линии соприкосновения пластинок и находящуюся на расстоянии l = 75 мм от нее. В отраженном свете (λ = 0,5 мкм) на верхней пластинке видны интерференционные полосы. Определить диаметр d поперечного сечения проволочки, если на протяжении а = 30 мм насчитывается m = 16 светлых полос.
Дано:
Решение:
l = 75 мм = 7,5×10-2 м
λ = 0,5 мкм = 5×10-7 м
а = 3×10-2 м
m = 16
max
Выполним рисунок. Из рисунка видно, что диаметр проволоки d можно найти из прямоугольного треугольника.
dl=tgα.dl=tgα.\frac{\text{d}}{\text{l}}=tg\alpha .
Т.к. угол a очень мал, то для него выполняется соотношение
tg α → sin α→ α.
dl=α.dl=α.\frac{\text{d}}{\text{l}}=\alpha . (1)
Необходимо определить sin a. Рассмотрим второй треугольник. Для него запишем соотношение.
{d}'a=α.{d}'a=α.\frac{{\text{{d}'}}}{\text{a}}=\alpha . (2)
Приравняем уравнения (1) и (2).
dl={d}'a.dl={d}'a.\frac{\text{d}}{\text{l}}=\frac{{\text{{d}'}}}{\text{a}}. (3)
На участке а насчитывается m = 16 светлых полос. Запишем для границ участка условие максимума при интерференции.
Δ = kλ.
Запишем оптическую разность хода лучей на этом участке
Δ = 2хn
kλ = 2хn
x=kλ2n.x=kλ2n.\text{x}=\frac{\text{k}\lambda }{2\text{n}}. (4)
аналогично для второй границы.
Δ = 2(d' + x)n.
(k +m)λ = 2(d' + x)n.
kλ +mλ = 2n(d' + x). (5)
Подставим выражение (4) для х в полученное выражение (5).
kλ+mλ=2n({d}'+kλ2n)=2n{d}'+kλ.kλ+mλ=2n({d}'+kλ2n)=2n{d}'+kλ.\text{k}\lambda +\text{m}\lambda =2\text{n}\left( \text{{d}'}+\frac{\text{k}\lambda }{2\text{n}} \right)=2\text{n{d}'}+\text{k}\lambda .
mλ = 2nd'
{d}'=mλ2n.{d}'=mλ2n.\text{{d}'}=\frac{\text{m}\lambda }{2\text{n}}. (6)
выражение (6) для d' подставим в уравнение (3).
dl=mλ2nadl=mλ2na\frac{\text{d}}{\text{l}}=\frac{\text{m}\lambda }{2\text{na}} d=mlλ2na.d=mlλ2na.\text{d}=\frac{\text{ml}\lambda }{2\text{na}}.
Подставим численные значения и рассчитаем диаметр d поперечного сечения проволочки.
d=mlλ2na.16⋅7,5⋅10−2⋅5⋅10−72⋅1⋅3⋅10−2=10⋅10−6(м)=10 (мкм).d=mlλ2na.16⋅7,5⋅10−2⋅5⋅10−72⋅1⋅3⋅10−2=10⋅10−6(м)=10 (мкм).\text{d}=\frac{\text{ml}\lambda }{2\text{na}}.\frac{16\cdot 7,5\cdot {{10}^{-2}}\cdot 5\cdot {{10}^{-7}}}{2\cdot 1\cdot 3\cdot {{10}^{-2}}}=10\cdot {{10}^{-6}}\left( м \right)=10\ \left( мкм \right).
Ответ: d = 10 мкм
d = ?