Может ли работник добровольно компенсировать ущерб работодателю

не может
может, полностью или частично
в Трудовом кодексе Российской Федерации такое право не предусмотрено
может, но только после рассмотрения дела в юрисдикционном органе (как одна из гарантий)

К сожалению, у нас пока нет статистики ответов на данный вопрос, но мы работаем над этим.