Изучите примеры решения задач
Задача 1
На дифракционную решетку, содержащую n = 400 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (λ = 0,6 мкм). Найдите общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка. Определите угол φ дифракции, соответствующий последнему максимуму.
Дано:
Решение:
n = 400
l = 1 мм = 10-3 м
λ = 0,6 мкм = 6×10-7 м
Запишем условие максимума на дифракционной решетке.
dsin φ = kλ.
Чтобы найти общее число дифракционных максимумов, нужно знать номер последнего максимума (kmax).
D(sinφ)max = kmaxλ.
(sinφ)max = 1.
k=dλ.k=dλ.{{\text{k}}_{}}=\frac{\text{d}}{\lambda }.
Здесь d – период решетки.
d=ln.d=ln.\text{d}=\frac{\text{l}}{\text{n}}.
Тогда
k=dλ=lnλ=10−3400⋅6⋅10−7=4,17.k=dλ=lnλ=10−3400⋅6⋅10−7=4,17.{{\text{k}}_{}}=\frac{\text{d}}{\lambda }=\frac{\text{l}}{\text{n}\lambda }=\frac{{{10}^{-3}}}{400\cdot 6\cdot {{10}^{-7}}}=4,17.
Число максимумов может быть только целым числом, т.е. kmax = 4.
общее число дифракционных максимумов: N = 2kmax + 1 = 2×4 + 1 = 9.
Тогда угол φ дифракции, соответствующий последнему максимуму.
ϕ=kλd=kλnl=4⋅6⋅10−7⋅40010−3=0,96.ϕ=kλd=kλnl=4⋅6⋅10−7⋅40010−3=0,96.\phi =\frac{\text{k}\lambda }{\text{d}}=\frac{\text{k}\lambda \text{n}}{\text{l}}=\frac{4\cdot 6\cdot {{10}^{-7}}\cdot 400}{{{10}^{-3}}}=0,96.
φ= arcsin 0,96 = 73,7°≈ 74°.
Ответ: N = 9; φ = 74˚
N = ? φ = ?
Задача 2
На дифракционную решетку, содержащую n = 500 штрихов на 1 мм, падает в направлении нормали к ее поверхности белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определите ширину b спектра первого порядка на экране, если расстояние L линзы до экрана равно 3 м. Границы видимого спектра λкр = 780 нм, λФ = 400 нм.
Дано:
Решение:
n = 500
l = 1 мм = 10-3 м
L = 3 м
λкр = 780 нм = 7,8×10-7 м
λФ = 400 нм = 4×10-7 м
k = 1
ширину b спектра первого порядка на экране можно определить, используя рисунок.
b= xкр – хф. (1)
Из геометрии расстояния х:
х = Ltg φ, (2)
где φ - угол дифракции. Для максимума первого порядка этот угол очень мал. А для малых углов выполняется соотношение:
tg φ » sin φ.
Тогда уравнение (2) перепишем в виде
х = L sin φ.
sin φ найдем из условия максимума на дифракционной решетке.
dsin φ = kλ
ϕ=kλd.ϕ=kλd.\phi =\frac{\text{k}\lambda }{\text{d}}.
x=Lkλd,x=Lkλd,\text{x}=\frac{\text{Lk}\lambda }{\text{d}},
где d – период дифракционной решетки, который можно найти, зная длину решетки l и число штрихов на решетке n.
d=ln.d=ln.\text{d}=\frac{\text{l}}{\text{n}}.
x=Lkλnl.x=Lkλnl.\text{x}=\frac{\text{Lk}\lambda \text{n}}{\text{l}}.
Тогда ширину спектра (1) запишем в виде:
b=Lkλкрnl−Lkλфnl=Lknl(λкр−λф).b=Lkλкрnl−Lkλфnl=Lknl(λкр−λф).\text{b}=\frac{\text{Lk}{{\lambda }_{кр}}\text{n}}{\text{l}}-\frac{\text{Lk}{{\lambda }_{ф}}\text{n}}{\text{l}}=\frac{\text{Lkn}}{\text{l}}\left( {{\lambda }_{кр}}-{{\lambda }_{ф}} \right).
После подстановки численных значений получим:
b=3⋅1⋅50010−3(7,8⋅10−7−4⋅10−7)=0,57 (м).b=3⋅1⋅50010−3(7,8⋅10−7−4⋅10−7)=0,57 (м).\text{b}=\frac{3\cdot 1\cdot 500}{{{10}^{-3}}}\left( 7,8\cdot {{10}^{-7}}-4\cdot {{10}^{-7}} \right)=0,57\ \left(м \right).
b = ?
Задача 3
Плоская световая волна с длиной волны λ=600нм падает по нормали на экран с круглым отверстием. Определить диаметр отверстия, при котором в точке , лежащей на оси светового пучка на расстоянии b = 2 м от экрана, будет наблюдаться максимальная освещенность.
Дано:
Решение:
λ = 600нм = 6×10-9 м
b = 2 м
Максимальная освещенность в точке Р будет наблюдаться при условии, когда в отверстии уложится только первая зона Френеля. По условию падающая волна - плоская. Это значит, что фронт такой волны - плоскость, радиус кривизны а такой волны много больше b (а » b), учтем это в выражении для радиуса зоны Френеля:
rk=mλaba+b−−−−−−−−√=kλb11+(b/a)−−−−−−−−−−−√=kλb−−−√rk=mλaba+b=kλb11+(b/a)=kλb{{r}_{k}}=\sqrt{m\lambda \frac{ab}{a+b}}=\sqrt{k\lambda b\frac{1}{1+(b/a)}}=\sqrt{k\lambda b}
так как (a/b)→0 (для плоской волны расстояние до источника а стремится к бесконечности)
Максимальная освещенность наблюдается, когда в отверстии укладывается одна зона Френеля k =1
d=2r1=2λb−−√d=2r1=2λbd=2{{r}_{1}}=2\sqrt{\lambda b}
Подставляя численные значения, получим:
d=2600⋅10−92−−−−−−−−−√≈2.2⋅10−3м=2.2ммd=2600⋅10−92≈2.2⋅10−3м=2.2ммd=2\sqrt{600\cdot {{10}^{-9}}2}\approx 2.2\cdot {{10}^{-3}}м=2.2мм
Ответ: d=2.2мм
d-?