Автор вопроса: С.В. БаранчуковГомеоморфизм – одно из основных понятий топологии. Две
фигуры (точнее, два топологических пространства) называются гомеоморфными, если
существует взаимно однозначное непрерывное отображение любой из них на другую,
для которого обратное отображение тоже непрерывно; при этом само отображение
называется гомеоморфизмом. Например, любой круг гомеоморфен любому квадрату,
любые два отрезка гомеоморфны, но отрезок не гомеоморфен ни окружности, ни
прямой. Прямая гомеоморфна любому интервалу (то есть отрезку с удалёнными
концами). На основе понятия гомеоморфизма определяется важнейшее понятие
топологического свойства как такого, которое, будучи присуще какой-либо фигуре,
присуще и любой фигуре, ей гомеоморфной. Примеры топологических свойств:
компактность (бикомпактность) и связность.
Топологическим свойством (или топологическим инвариантом)
геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой
обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом
преобразовании. Любое открытое связное множество, содержащее по крайней мере
одну точку, называется областью. Область, в которой любую замкнутую простую
(т.е. гомеоморфную окружности) кривую можно стянуть в точку, оставаясь все
время в этой области, называется односвязной, а соответствующее свойство
области - односвязностью. Если же некоторую замкнутую простую кривую этой
области нельзя стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, то область
называется многосвязной, а соответствующее свойство области - многосвязностью.
Представьте себе две круговые области, или диски, одну без дыр, а другую с
дырами. Первая область односвязна, вторая многосвязна. Односвязность и
многосвязность - топологические свойства. Область с дырой не может перейти при
гомеоморфизме в область без дыр. Интересно отметить, что если в многосвязном
диске провести по разрезу от каждой из дыр до края диска, то он станет
односвязным. Максимальное число замкнутых простых непересекающихся кривых, по
которым можно разрезать замкнутую поверхность, не разделяя ее на отдельные
части, называется родом поверхности. Род - топологический инвариант
поверхности. Можно доказать, что род сферы равен нулю, род тора (поверхности
"бублика") - единице, род кренделя (тора с двумя дырками) - двум, род
поверхности с p дырами
равен p. Отсюда
следует, что ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору.
Выберите все ряды, в которых перечислены только
гомеоморфные друг другу тела.
1.
2.
3.
4.
5.